Как всегда, задача сразу становится простой, если вспомнить, что переставляя гири с чаши на чашу мы тоже получаем некоторую информацию.
Для начала простое вспомогательное утверждение ( ВУ ).
У нас есть три гири, нам известно, что одна из них отличается по весу от двух других и нам так же известно в какую сторону отличается, т.е. легче она или тяжелее. Тогда мы можем найти «неправильную» гирю за одно взвешивание.
Ставим две из 3х гирь на разные чаши весов и все сразу понимаем: равновесие, значит 3я гиря «неправильная», нет равновесия, значит одна из взвешиваемых гирь «неправильная», причем мы знаем какая.

А теперь к самой задаче.
Занумеруем гири, вот так: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
Первое взвешивание:
Ставим (1,2,3,4) на левую чашу и (5,6,7,8) на правую.
Простой случай - установилось равновесие, значит неправильная гиря находится среди (9,10,11,12). Ставим (1,2,3) на левую чашу и (9,10,11) на правую. Это будет второе взвешивание. Установилось равновесие, значит 12ая гиря - «неправильная». Одна из двух чаш перевесила, значит мы сразу знаем легче «неправильная» гиря или тяжелее, а так же знаем, что это одна из гирь (9,10,11). Пользуясь ВУ находим «неправильную» гирю за последнее взвешивание.
Сложный случай - после первого взвешивания перевесила одна из чаш.
Это значит, что вес каждой из гирь (9, 10, 11, 12) - нормальный.
Теперь делаем следующее: снимаем гири (1,2,3) с весов и вместо них ставим (9,10,11). Ставим гирю 4 на правую чашу, а гирю 5 на левую.
После всех этих махинаций у нас получается, что при втором взвешивании на левой чаше стоят гири (9,10,11,5), а на правой
(4,6,7,8).
Какие возможны варианты:
1. Весы в равновесии, значит «неправильная» гиря - одна из (1,2,3) и по итогам первого взвешивания ясно весит она больше или меньше чем остальные.
Пользуемся ВУ - находим «неправильную» гирю за последнее взвешивание.
2. Весы не в равновесии, при этом перевесила та же чаша, что и при первом взвешивании, значит неправильная гиря - одна
из (6,7,8) и мы знаем легче она или тяжелее, снова применяем ВУ и находим «неправильную»
3. Весы не в равновесии, но теперь перевешивает другая чаша, чем при первом взвешивании. Это значит, что «неправильная» гиря - это или гиря 4 или гиря 5. При этом все остальные гири - нормального веса.
Ну что же, поставим 1 на левую чашу и 4 на правую. Равновесие обозначает, что гиря 5 - «неправильная». Нет равновесия значит 4ая - «неправильная». (Это было 3е и последнее взвешивание).

ВСЕ
Таки перевес побежден, хотя это и стоило усилий, особенно изложить все это на форуме, безо всяких картинок.
Если вдруг кто-то захочет это прочитать и понять , сразу берите ручку и бумажку.